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设α1,α2,α3,α4是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.

首先题目应该交代了α1,α2,α3, α4为Ax=0的基础解系.可见α1,α2,α3, α4为Ax=0的基础解中的极大线性无关组,秩为4.证明:1.证明α1+α2,α2+α3, α3+α4, α4+α1认为Ax=0的解; A(α1+α2)=Aα1+ Aα2=0+0=0,显然α1+α2为Ax=0的解,同理可证其他

①选项A,由于(α1,α1+α2,α1+α2+α3,α1+α2+α3+α4)=(α1,α2,α3,α4) 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ,而. 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 . ≠0,故α1,α1+α2,α1+α2+α3,α1+α2+α3+α4线性无关,因而此向量组是AX=0的基础解系,故A错误;②选项B.

因为非齐次线性方程组通解的表示式不是唯一的 你这个结论应该是选择题中的一个选项 因为a1,a2 是ax=0 的基础解系 所以 a1,a1-a2 也是 ax=0 的基础解系 又 a((b1+b2)/2)) = (ab1+ab2)/2 = (b+b)/2 = b 所以 (b1+b2)/2 是ax=b的解 所以通解为 k1α1+k2(α1α2)+(β1+β2)/2

证明: (α1,α1+α2,α2+α3)=(α1,α2,α3)P P =1 1 00 1 10 0 1 因为 |P|=1≠0, 所以P可逆.所以 α1,α2,α3 与 α1,α1+α2,α2+α3 等价.所以 r(α1,α1+α2,α2+α3) = r(α1,α2,α3) = 3.且 Ax=0 的解可由 α1,α1+α2,α2+α3 线性表示.故 α1,α1+α2,α2+α3 是Ax=0 的基础解系.

①选项A.由于α1,α1+α2,α3+α4只有三个解向量,而AX=0的基础解系含有四个解向量,故A错误;②选项B.由于(α1-α2,α2+α3,α3+α4,α4-α1)=(α1,α2,α3,α4)1001

由于α1,α2,α3是AX=0的基础解系,因此α1+α2,α2+α3,α3+α1是Ax=0三个解向量又(α1+α2,α2+α3,α3+α1)=(α1,α2,α3)101110011而.101110011.=2≠0因此,r(α1+α2,α2+α3,α3+α1)=r(α1,α2,α3)=3即α1+α2,α2+α3,α3+α1是线性无关的因而α1+α2,α2+α3,α3+α1也是Ax=0一个基础解系故填“对”

因为α1,α2,α3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,从而:α1+α2,α2+α3,α3+α1也是方程组AX=0的解,并且有:n-r(A)=3,要证:α1+α2,α2+α3,α3+α1也是该方程组的一个基础解系,只需证:α1+α2,

(α1+aα2,α2+α3,α3+α1)=(α1,α2,α3)K K=1 0 1 a 1 00 1 1 因为 α1,α2,α3 线性无关 所以 r(α1+aα2,α2+α3,α3+α1) = r(K) 所以 α1+aα2,α2+α3,α3+α1 是基础解系的充要条件是 r(K)=3.|K| = a+1 所以 a ≠ -1.

C因为基础解系必须线性无关

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